第 2 季

蒙提霍尔悖论，以60年代一档游戏节目命名，探讨的是在游戏过程中获得的信息如何影响（或不影响）获胜的概率。 尽管这一问题在理论上已有明确解答，但它对人们常识的冲击如此之大，以至于至今仍是激烈讨论的主题。

统计数据似乎天生就带有一种实证主义的倾向。实际上，它们确实是我们试图掌握现实世界复杂性的重要工具…… 然而，若不加审慎，任何依赖统计的数据解读都可能受到诸多“偏差”的影响。对数字的过于简单化理解，可能会导致我们——例如——将相关性误认为是因果关系。而更为复杂的现象（尤其是辛普森悖论）则可能使看似客观的结论产生误导。

几个世纪以来，几何学一直建立在欧几里得的公设之上，这些公设看似永恒而不可动摇。 然而，其中的第五公设始终显得“有些不那么自然”。数百位数学家曾尝试将它从其他公设中推导出来，但都未能成功。 直到19世纪中叶，伯恩哈德·黎曼提出了一个大胆的想法：假设它是错误的会怎样？ 这便促成了“非欧几何”的诞生——一个后来在物理学中发挥重大作用的数学领域。

镶嵌，就是用重复的图形图案覆盖整个平面的一种方式……简单来说，就像制作一张“平面壁纸”。 1975年，业余数学爱好者、母亲身份的Marjorie Rice（1923–2017），在《科学美国人》上读到Martin Gardner的一篇文章。文章中列出了所有已知的五边形平面镶嵌，并宣称这一列表已被数学家证明“完备”。 然而，Marjorie Rice独自在家钻研后，竟然发现了4种新的五边形镶嵌方式……这个“定理”居然是错的！

问题在于，如何设计一个既“经济”又“稳健”，同时又不占用过多空间的网络。 这是一个曾被伟大的俄罗斯数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫（1903–1987）深入研究的理论问题。 然而，这个看似纯理论的问题，实际上深刻影响了我们如何构建计算机网络，甚至影响了人脑的结构设计： 要实现智能，而不必拥有“硕大的脑袋”，我们需要一个高效又紧凑的神经网络！ 在这一领域，萨梅雷迪引理（Szemerédi’s Regularity Lemma）提供了强有力的数学工具。 它表明：任何足够大的图都可以被近似分解为若干接近随机的子图。 这一定理帮助人们理解如何在大规模网络中保持连接的“规律性”与“简洁性”之间的平衡。

首先，有五种被几何学家钟爱的“柏拉图多面体”——立方体、四面体、八面体、十二面体和二十面体。 但为何只局限于我们熟知的三维空间呢？ Alicia Boole Stott 一生致力于寻找四维空间中的正多面体……她成功找到了！ 这是一场深入未知数学领域的奇妙旅程。

当数学告诉我们堆放橙子的最佳方式…… 开普勒猜想于1611年提出，直到1998年才由托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）最终证明！ 他采用了当时对同行来说颇为非传统的计算机辅助方法。 而数学证明的认证过程，通常是艰难且繁琐的。

一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，能引发德克萨斯的龙卷风吗？ 爱德华·洛伦茨（Edward Lorenz）那句广为人知的问题背后，蕴藏着一种全新的数学理论。 它涉及我们以前从未想象过会归入数学范畴的复杂系统： 比如描述天气的动力系统，甚至……人类社会的诸多事务！

如何用数学模型描述一个土豆在空间中的运动？许多数学家都为此苦苦探索。 19世纪末，数学家索菲娅·科瓦列夫斯卡借助一款极其特殊的陀螺，终于取得了关于刚体绕固定点运动的重要成果。 这项研究引领我们进入可积系统的核心领域，尽管过程稍显晕眩，却意义非凡……

想象一个机器能够判断所有命题真假的世界…… 可惜事实并非如此。丘奇（Church）、埃尔布兰（Herbrand）、哥德尔（Gödel）和图灵（Turing）各自以不同方式探索， 试图确定是否存在一种算法，能够判定任何数学断言是否可被证明。 这个被称为判定问题（Entscheidungsproblem）的问题震撼了数学界， 同时也为计算机科学的诞生奠定了坚实基础。